Question

12．已知数列{a_n}通项a_n=2n-1，且数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前m项和为5，则m=60．

Answer 1

分析 由题意运用分母有理化，可得$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，解方程可得m的值．

解答 解：数列{a_n}通项a_n=2n-1，
则$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$），
数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$}的前m项和为$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2m+1}$-$\sqrt{2m-1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2m+1}$-1）=5，
解得m=60，
故答案为：60．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．