Question

8．已知cosα=$\frac{1}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，求角β的值．

Answer 1

分析 先利用平方关系式结合角的范围求出sinα和cos（α+β），然后用已知三角函数值的角α和α+β表示要求解的角β，β=（α+β）-α，利用两角差的正弦公式求解β的正弦值，进而求出角β．

解答 解：∵cosα=$\frac{1}{7}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$
∵sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
sinα＞sin（α+β）
∴$\frac{π}{2}＜α+β＜π$
∴$cos（α+β）=-\frac{11}{14}$
∴sinβ=sin[（α+β）-α]
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=$\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{7}+\frac{11}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
又∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴$β=\frac{π}{3}$．
∴角β的值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了平方关系式及两角和差公式，解决这类题目的关键是“拆角”，把要求解的角用给出三角函数值的角表示．