Question

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x₀，y₀)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．

Answer 1

解析：(1)依题意，设抛物线C的方程为x²＝4cy，由＝结合c＞0，解得c＝1.

所以抛物线C的方程为x²＝4y.

(2)抛物线C的方程为x²＝4y，即y＝x²，求导得y′＝x.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

则切线PA，PB的斜率分别为x₁，x₂，

所以切线PA的方程为y－y₁＝(x－x₁)，即y＝x－＋y₁，即x₁x－2y－2y₁＝0.

同理可得切线PB的方程为x₂x－2y－2y₂＝0.

因为切线PA，PB均过点P(x₀，y₀)，所以x₁x₀－2y₀－0，x₂x₀－2y₀－2y₂＝0，

所以(x₁，y₁)，(x₂，y₂)为方程x₀x－2y₀－2y＝0的两组解．

所以直线AB的方程为x₀x－2y－2y₀＝0.

(3) 由抛物线定义可知|AF|＝y₁＋1，|BF|＝y₂＋1，

所以|AF|·|BF|＝(y₁＋1)(y₂＋1)＝y₁y₂＋(y₁＋y₂)＋1.

联立方程消去x整理得y²＋(2y₀－x)y＋y＝0.

由一元二次方程根与系数的关系可得y₁＋y₂＝x－2y₀，y₁y₂＝y，

所以|AF|·|BF|＝y₁y₂＋(y₁＋y₂)＋1＝y＋x－2y₀＋1.

又点P(x₀，y₀)在直线l上，所以x₀＝y₀＋2，

所以y＋x－2y₀＋1＝2y＋2y₀＋5＝2²＋，

所以当y₀＝－时， |AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.