Question

14．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，若AM丄平面ABD，且AM=$\sqrt{2}$
（1）求证：DM⊥平面ABC；
（2）求二面角C-BM-D的大小．

Answer 1

分析 （1）法一（几何法）：取BD中点N，连结AN，CN，MN，推导出AN⊥BD，CN⊥BD，从而CN⊥平面ABD，再求出AM⊥平面ABD，从而CN∥AM，推导出AC⊥MN，BD⊥AC，AC⊥MD，从而AM⊥平面ABD，进而AM⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面AMD，由此能证明DM⊥平面ABC．
（1）法二（向量法）取BD中点N，连结AN，CN，MN，以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM⊥平面ABC．
（2）取BD中点N，连结AN，CN，MN，以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CBM的法向量和平面DBM的法向量，利用向量法能求出二面角C-BM-D的大小．

解答 证明：（1）法一（几何法）：如图，取BD中点N，连结AN，CN，MN，
∵将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，
∴AN⊥BD，CN⊥BD，
∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN?平面CBD，CN⊥BD，
∴CN⊥平面ABD，又AM⊥平面ABD，∴CN∥AM，
又CN=AM=AN=$\sqrt{2}$，∴AMCN是正方形，∴AC⊥MN，
由BD⊥AN，BD⊥CN，AN∩CN=N，得BD⊥平面AMCN，∴BD⊥AC，
又BD∩MN=N，∴AC⊥平面BDM，∴AC⊥MD，
∵AM⊥平面ABD，∴AM⊥AB，
又AB⊥AD，AM∩AD=A，∴AB⊥平面AMD，
∴AB⊥DM，又AC⊥DM，AB∩AC=A，
∴DM⊥平面ABC．
（1）法二（向量法）：如图，取BD中点N，连结AN，CN，MN，
∵将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，
∴AN⊥BD，CN⊥BD，
∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN?平面CBD，CN⊥BD，
∴CN⊥平面ABD，
以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，$\sqrt{2}$），D（0，2，0），M（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DM}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AC}$=0，
∴DM⊥AB，DM⊥AC，
又AB∩AC=A，∴DM⊥平面ABC．
解：（2）B（2，0，0），C（1，1，$\sqrt{2}$），D（0，2，0），M（0，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），
设平面CBM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2x+\sqrt{2}z=0}\\{-x+y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
设平面DBM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{-2a+\sqrt{2}c=0}\\{-a+b+\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$，
设二面角C-BM-D的平面角为θ，由图知θ为锐角，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，则θ=$\frac{π}{3}$，
∴二面角C-BM-D的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．