Question

已知函数f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

，其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：排列组合

分析：先化简，再设f（x）=1+g（x），g（x）=

2x+sinx

x2+1

，再求出导数，判断函数g（x）和f′（x）的奇偶性，根据奇偶性，问题得以解决．

解答： 解：∵函数f（x）=

(x+1)2+sinx

x2+1

=1+

2x+sinx

x2+1

，
设g（x）=

2x+sinx

x2+1

，
∴f′（x）=g′（x）=

2-2x2+(x2+1)cosx-2xsinx

(x2+1)2

，
∵g（-x）=-g（x），f′（-x）=f′（x），
∴f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=1+g（2015）+f′（2015）+1-g（2015）-f′（2015）=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查了导数的应用和函数的奇偶性，关键是构造函数设f（x）=1+g（x），属于中档题．