Question

设正实数x，y，z满足x²-3xy+9y²-z=0，则当

xy

z

取得最大值时，

x

y

的值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式和x²-3xy+9y²-z=0，求出z的最小值，确定取得最小值的x，y，z之间的关系，问题得以解决

解答： 解：∵x²-3xy+9y²-z=0，
∴z=x²-3xy+9y²≥2

x2•9y2

-3xy=3xy，
∵x，y，z均为正实数，
∴

xy

z

≤

xy

3xy

=

1

3

当且仅当x²=9y²，即x=3y，此时z=9y²时取“=”，
∴

x

y

=3
故答案为：3．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题