Question

8．若a+b+c=1，且a，b，c为非负实数，求证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用分析法和基本不等式性质证明．

解答 证明：要证$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{3}$，
只需证（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$）²≤3，展开得a+b+c+2（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$）≤3，
又因为a+b+c=1，
所以即证$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤1．
因为a，b，c为非负实数，
所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{bc}$≤$\frac{b+c}{2}$，$\sqrt{ca}$≤$\frac{c+a}{2}$．
三式相加得$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤$\frac{2（a+b+c）}{2}$=1，
所以$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ca}$≤1成立．
所以$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤3．

点评 本题考查了不等式的证明，掌握不等式的性质和证明方法是关键，属于中档题．