Question

20．设函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，若f（x）在（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 令f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，分离参数可得a≤$\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}$在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，不等式转化为a≤$\frac{1-t}{{t}^{2}}$，求出函数的最小值即可得出a的范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}+a$，
∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}$在（1，+∞）上恒成立，
令lnx=t，则t＞0，设g（t）=$\frac{1-t}{{t}^{2}}$，则g′（t）=$\frac{{t}^{2}-2t}{{t}^{4}}$=$\frac{t-2}{{t}^{3}}$，
∴当0＜t＜2时，g′（t）＜0，当t＞2时，g′（t）＞0，
∴当t=2时，g（t）取得最小值g（2）=-$\frac{1}{4}$．
∴a≤-$\frac{1}{4}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值得计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．