Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）cos（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）-sin（x+π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在[0，π]上的最小值；
（3）若f（α）=$\frac{8}{5}$，α∈（${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$），求sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）在[0，π]上的最小值．
（3）由条件求得sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，可得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）cos（${\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}}$）-sin（x+π）
=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{2}$）+sinx
=$\sqrt{3}$cosx+sinx
=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期为2π．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，
得到函数g（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
在[0，π]上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数g（x）取得最小值为2•（-$\frac{1}{2}$）=-1．
（3）若f（α）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵α∈（${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$），
∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{2π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{3}）$-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=sin（2α+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（2α+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=-$\frac{24}{25}•\frac{1}{2}$-（-$\frac{7}{25}$）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{7\sqrt{3}-24}{50}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．