Question

（本小题满分14分）

已知向量，其中，，把其中所满足的关系式记为，且函数为奇函数．

（1）求函数的表达式；

（2）已知数列的各项都是正数，为数列的前项和，且对于任意，都有“数列的前项和”等于，求数列的首项和通项公式；

（3）若数列满足，求数列的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据向量平行得出函数，再利用函数为奇函数，可求c=1，从而可得函数的表达式；

（Ⅱ）根据条件对于任意，都有的前n项和等于，写出两等式，两式相减可得为公差为1的等差数列，从而可求数列的通项公式；

（Ⅲ）根据，可得，由于，故需对进行分类讨论．

试题解析：（Ⅰ）∵，∴ ，

因为函数f（x）为奇函数．所以c=1，故

（Ⅱ）由题意可知，…．．①

n≥2时，…②

由①﹣②可得：，

∵为正数数列，∴…③，∴…④

由④﹣③可得：，

且由①可得

∴为公差为1的等差数列，∴；

（Ⅲ），

令，∴

（1）当时，数列的最小值为当n=1时，．

（2）当a＞2时

①若时，数列的最小值为当n=k+1时，．

②若 时，数列的最小值为当n=k或n=k+1时，．

③若 时，数列的最小值为当n=k时，

④若时，数列{bn}的最小值为，当n=k+1时，．

考点：向量共线定理；数列通项公式；函数的最值问题；数列与向量的综合；分类讨论思想．