Question

已知函数f（x）=cosx[sin（x+

π

3

）-

3

sin（x+

π

2

）]+

3

4

．
（1）若f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，0＜θ＜

π

2

，求tanθ的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），由f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，可解得cosθ，又0＜θ＜

π

2

，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．
（2）由f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），根据周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得单调递增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+

π

3

）-

3

sin（x+

π

2

）]+

3

4

=cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

1

2

sin（2x-

π

3

），
∵f（

θ

2

+

5π

12

）=

3

10

，故有：

1

2

sin[2（

θ

2

+

5π

12

）-

π

3

]=

1

2

sin（θ+

5π

6

-

π

3

）=

1

2

sin（θ+

π

2

）=

1

2

cosθ=

3

10

，
∴可解得：cosθ=

3

5

，
∵0＜θ＜

π

2

，sinθ=

1-cos2θ

=

4

5

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

3 5

4 5

=

3

4

．
（2）∵f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），
∴T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z
∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．