Question

12．已知函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）证明：方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），由$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，可得函数h（x）在（1，2）内一定有零点，进而证明h′（x）＞0，可得h（x）在（1，2）上单调递增，即可得证．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）$f'（x）=lnx+\frac{a}{x}+1$，
由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，
则f'（1）=2，
所以a+1=2，解得a=1．…（4分）
（2）令$h（x）=f（x）-g（x）=（x+1）lnx-\frac{x^2}{e^x}$，x∈（1，2），
则$h（1）=-\frac{1}{e}＜0$，$h（2）=3ln2-\frac{4}{e^2}＞0$，
所以h（1）h（2）＜0，
所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）
可得$h'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-\frac{{2x-{x^2}{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=lnx+\frac{1}{x}+1-\frac{{-{{（x-1）}^2}+1}}{e^x}＞1-\frac{1}{e}＞0$，
∴h（x）在（1，2）上单调递增，
所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，
即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解题的关键，属于中档题．