Question

15．判断并证明函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（-∞，-1]上的单调性．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂≤-1，然后作差，变形，判定符号，证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 解：f（x）在（-∞，-1]上是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂  
∵$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{（{{x_2}+\frac{1}{x_2}}）-（{{x_1}+\frac{1}{x_1}}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$
由x₁＜x₂≤-1知，x₁x₂＞1，∴$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数．

点评 本题考查了定义法证明函数的单调性，掌握证明步骤及变形是关键，是基础题．