Question

20．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切．求a的值．

Answer 1

分析 求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．

解答 解：y=x+lnx的导数为y′=1+$\frac{1}{x}$，
曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．
由于切线与曲线y=ax²+（a+2）x+1相切，
y=ax²+（a+2）x+1可联立y=2x-1，
得ax²+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a²-8a=0，
解得a=8．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．