Question

5．已知函数f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx（e=2.17128…是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （e，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 求导f′（x）=a-e^x，由导数判断函数的单调性，根据图象与横轴交点个数即可判定零点个数．

解答 解：函数f（x）=2e^xln$\sqrt{e}$-kx=f（x）=e^x-kx 其定义域为：R
 f′（x）=k-e^x．
当k≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；
当k＞0时，由f′（x）=0解得x=lnk，
当x＞lnk时，f′（x）＜0，当x＜lnk时，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lnk处取得最大值f（lnk）=alnk-k，
∵f（x）存在两个零点，
∴f（lnk）=alnk-k＞0，
k＞e，即a的取值范围是（e，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用及零点问题，属于中档题