Question

【题目】在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面为菱形，且，，点O为AC中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接BO，由于侧面为菱形，，得，，由勾股定理得，，再由线面垂直的判定定理可得证；

（2）分别以为x轴，y轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由线面角的向量求解方法可求得直线与平面所成角的正弦值．

（1）连接BO，因为侧面为菱形，，

所以，因为点O为AC中点，所以，

又因为，所以，

因为，所以，

又因为，是正三角形，

所以，且

因为，所以，

又因为，，

平面ABC，平面ABC

所以平面ABC，

（2）分别以为x轴，y轴，轴的正方向，

建立如下图所示的空间直角坐标系．

则，

则，

设为平面的一个法向量，则

，即，

令，则，，，

设直线与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.