Question

3．求下列不等的解集
（1）求不等式$\frac{|x+1|}{|x+2|}$≥1的实数解；
（2）解关于x的不等式$\frac{a（x-1）}{x-2}$＞1．

Answer 1

分析 （1）不等式式$\frac{|x+1|}{|x+2|}$≥1?$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|≥|x+2|}\\{x+2≠0}\end{array}\right.$，由|x+1|≥|x+2|?（x+1）²≥（x+2）²，展开解出即可．
（2）不等式?（x-2）[（a-1）x-（a-2）]＞0，分类讨论，结合而成不等式的解法，即可得出结论．

解答 解：（1）不等式$\frac{|x+1|}{|x+2|}$≥1?$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|≥|x+2|}\\{x+2≠0}\end{array}\right.$，由|x+1|≥|x+2|?（x+1）²≥（x+2）²，化为2x+3≤0，解得x≤-$\frac{3}{2}$，由x+2≠0，解得x≠-2．
∴不等式的解集为{x|x≤-$\frac{3}{2}$且x≠-2}．
（2）不等式?（x-2）[（a-1）x-（a-2）]＞0  （I） 
①当a＞1时，（I）?3（x-2）（x-$\frac{a-2}{a-1}$）＞0，
因$\frac{a-2}{a-1}$=1-$\frac{1}{a-1}$＜2，所以不等式解集为{x|x＞2或x＜$\frac{a-2}{a-1}$}
②当a＜1时，（I）?（x-2）（x-$\frac{a-2}{a-1}$）＜0
若0＜a＜1时，$\frac{a-2}{a-1}$＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜$\frac{a-2}{a-1}$}
若a＜0时，$\frac{a-2}{a-1}$＜2时，不等式解集为{x|$\frac{a-2}{a-1}$＜x＜2}
若a=0时，不等式的解集为∅．
③当a=1时，原不等式?x-2＞0，解集为{x|x＞2}
综上当a＞1时，不等式解集为{x|x＞2或x＜$\frac{a-2}{a-1}$}；当a=1时，解集为{x|x＞2}；若0＜a＜1时，不等式的解集为{x|2＜x＜$\frac{a-2}{a-1}$}；若a=0时，不等式的解集为∅；若a＜0时，不等式解集为：{x|$\frac{a-2}{a-1}$＜x＜2}．

点评 本题考查了分式不等式的等价转化方法、含绝对值不等式的解法，考查了计算能力，属于中档题．