Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）归纳猜想出通项公式a_n，并且用数学归纳法证明；
（3）求证a₁₀₀能被15整除．

Answer 1

分析 （1）利用条件，代入可求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）归纳猜想出通项公式${a_n}={2^n}-1$，再用数学归纳法证明；
（3）由（2）知${a_{100}}={2^{100}}-1$，而2¹⁰⁰=（2⁴）²⁵=16²⁵=（15+1）²⁵，从而证明a₁₀₀能被15整除．

解答 证明：（1）a₂=3，a₃=7，a₄=15，a₅=31…（2分）
（2）归纳猜想出通项公式${a_n}={2^n}-1$，…（3分）
①当n=1时，${a_1}=1={2^1}-1$，成立…（4分）
②假设n=k时成立，即${a_k}={2^k}-1$，…（5分）
则当n=k+1时，由a_n+1=2a_n+1（n∈N₊）
得：${a_{k+1}}=2{a_k}+1=2（{2^k}-1）+1={2^{k+1}}-2+1={2^{k+1}}-1$…（6分）
所以n=k+1时也成立；
综合①②，对n∈N^*等式都成立，从而得证．…（7分）
（3）由（2）知${a_{100}}={2^{100}}-1$
而2¹⁰⁰=（2⁴）²⁵=16²⁵=（15+1）²⁵…（8分）
展开：（15+1）²⁵=$C_{25}^0{15^{25}}+C_{25}^1{15^{24}}+…+C_{25}^{24}{15^1}+C_{25}^{25}{15^0}$，被15除余数为1，…（9分）
故${a_{100}}={2^{100}}-1$被15整除．…（10分）

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．