Question

3．已知抛物线E：x²=4y，m、n是过点A（a，-1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．
（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|²？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；
（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|²，设B（x₀，y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x-a），n：y+1=-k（x-a），
分别代入x²=4y，得
x²-4kx+4ka+4=0（1），x²+4kx-4ka+4=0（2），
由△₁=0得k²-ka-1=0，
由△₂＞0得k²+ka-1＞0，
故有2k²-2＞0，得k²＞1，即k＜-1，或k＞1．
（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|²，
设B（x₀，y₀），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则（y₁+1）（y₂+1）=λ（y₀+1）²．
将y₁+1=-k（x₁-a），y₂+1=-k（x₂-a），y₀+1=k（x₀-a）代入上式，得
（x₁-a）（x₂-a）=λ（x₀-a）²，
即x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²=λ（x₀-a）²．
由（2）得x₁+x₂=-4k，x₁x₂=-4ka+4，
由（1）得x₀=2k，代入上式，得
4+a²=λ（4k²-4ka+a²）．
又△₁=0得k²-ka-1=0，即4k²-4ka=4，
因此4+a²=λ（4+a²），λ=1．
故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|²．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．