Question

12．在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，M、N分别是AB、CF的中点，将该正方形沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．
（1）证明：MN∥平面AEF；
（2）证明：AB⊥平面BEF；
（3）求四棱锥E-AFNM的体积．

Answer 1

分析 （1）折叠后的图形：△ABF中，由M、N分别是AB、BF的中点，可得MN∥AF，即可证明MN∥平面AEF；
（2）在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折叠后的图形B，C，D三点重合，即可证明AB⊥平面BEF．
（3）：V_A-BEF=$\frac{1}{3}AB•{S}_{△BEF}$．而$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，可得V_E-AFNM=$\frac{3}{4}{V}_{A-BEF}$．

解答 （1）证明：折叠后的图形：△ABF中，
∵M、N分别是AB、BF的中点，
∴MN∥AF，MN?平面AEF，AF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
（2）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BE，AD⊥DF，折叠后的图形B，C，D三点重合，
∴三棱锥中，AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
∴AB⊥平面BEF．
（3）解：V_A-BEF=$\frac{1}{3}AB•{S}_{△BEF}$=$\frac{1}{3}×4×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$．
∵$\frac{{S}_{△BMN}}{{S}_{△ABF}}$=$\frac{1}{4}$，
∴V_E-AFNM=$\frac{3}{4}{V}_{A-BEF}$=$\frac{3}{4}×\frac{8}{3}$=2．

点评 本题考查了正方形的性质、线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三角形中位线定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．