Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（1）求角A；
（2）若$a=\sqrt{3}，b=2$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可求b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA，结合A为三角形内角，可得A的值．（2）利用余弦定理可求c，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中．由正弦定理得：2a²=（2b-c）•b+（2c-b）•c，
则：b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
由于A为三角形内角，可得：$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）若$a=\sqrt{3}，b=2$，$cosA=\frac{{4+{c^2}-3}}{2•2c}=\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得：（$\sqrt{3}$）²=2²+c²-2×$2×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-2c+1=0，
解得：c=1．
所以△ABC的面积是${S_{ABC}}=\frac{1}{2}•b•c•sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．