Question

12．已知直线l：x-y+3=0和圆C：（x-1）²+y²=1，P为直线l上一动点，过P作直线m与圆C切于点A，B．
（Ⅰ）求|PA|的最小值；
（Ⅱ）当|PA|最小时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求|PA|的最小值，即求|PC|的最小值，求出C到直线的距离，即可求|PA|的最小值；
（Ⅱ）当|PA|最小时，求出P的坐标，可得以CP为直径的圆的方程，即可求直线AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）求|PA|的最小值，即求|PC|的最小值，即C到直线的距离d=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PA|的最小值为$\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ），直线CP的方程为y-0=-（x-1），即x+y-1=0，
与直线l：x-y+3=0联立，可得P（-1，2），
以CP为直径的圆的方程为x²+（y-1）²=2
与圆C相减可得直线AB的方程为2x-2y-1=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．