Question

3．如图，在边长为1的正方形OABC内任取一点P（x，y）．
（1）求△APB的面积大于$\frac{1}{4}$的概率；
（2）求点P到原点的距离小于1的概率．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，结合图形求出满足条件的点P所在的区域面积，利用几何概型计算所求的概率；
（2）符合条件的点P构成的区域是圆x²+y²=1在第一象限所围的平面区域，利用几何概型计算所求的概率．

解答 解：（1）如图所示，取线段BC，AO的中点E，F，连接EF，
则当点P在线段EF上时，S_△APB=$\frac{1}{4}$，
∴满足条件的点P所在的区域为矩形OFEC（阴影部分）；

故所求概率为P=$\frac{{S}_{矩形OFEC}}{{S}_{正方形OABC}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜y＜1}\\{{x}^{2}{+y}^{2}＜1}\end{array}\right.$，
所以符合条件的点P构成的区域是
圆x²+y²=1在第一象限所围的平面区域如图中阴影部分，

所以点P到原点距离小于1的概率为P=$\frac{\frac{1}{4}•π{•1}^{2}}{{1}^{2}}$=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了几何概型的计算问题，关键是正确计算出阴影部分的面积，是基础题．