Question

3．对于定义域D的函数f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）为在D上的闭函数．
（Ⅰ）求闭函数y=x³符合条件②的区间[a，b]；
（Ⅱ）判断函数f（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{x}$（x＞0）是否为闭函数？并说明理由；
（Ⅲ）判断函数y=k+$\sqrt{x+2}$是否为闭函数？若是闭函数，求实数K的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，解$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得到x的解便可得到区间[a，b]；
（Ⅱ）根据闭函数的定义知，f（x）在定义域内具有单调性，通过求导，根据导数符号，即可判断f（x）在定义域内没有单调性，从而不是闭函数；
（Ⅲ）若该函数为闭函数，需满足闭函数的两个条件，容易得出满足第一个条件，从而只需满足第二个条件，也就是让方程x-k=$\sqrt{x+2}$有解，从而有$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{{x}^{2}-2kx+{k}^{2}=x+2}\end{array}\right.$，根据函数定义域为[-2，+∞），以及一元二次方程有两个不同解时△的取值即可得出实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
∴区间[a，b]为：[-1，0]，[-1，1]，或[0，1]；
（Ⅱ）$f′（x）=\frac{3}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{3（{x}^{2}-\frac{4}{3}）}{4{x}^{2}}$；
∴$x∈（0，\frac{2}{\sqrt{3}}）$时，f′（x）＜0，x$∈（\frac{2}{\sqrt{3}}，+∞）$时，f′（x）＞0；
∴f（x）在定义域（0，+∞）上没有单调性；
∴f（x）不是闭函数；
（Ⅲ）可看出该函数在定义域[-2，+∞）上为增函数，这满足了闭函数的第一个条件；
要是闭函数，还需满足第二个条件；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k+\sqrt{x+2}}\\{y=x}\end{array}\right.$得，$x-k=\sqrt{x+2}$（1），该方程需有解；
首先x≥k恒成立；
∴k≤-2；
对（1）式两边平方并整理得：x²-（2k+1）x+k²-2=0；
该方程有两个不同解，∴△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0；
解得$k＞-\frac{9}{4}$；
∴$-\frac{9}{4}＜k≤-2$；
∴实数k的取值范围为（$-\frac{9}{4}$，-2]．

点评 考查对闭函数定义的理解，知道满足闭函数的第二个条件时，需满足该函数和y=x至少有两个交点，根据导数符号判断函数单调性的方法，一元二次方程有解时判别式△的取值情况，不要漏了x≥k的条件．