Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．

 

Answer 1

(1)＋y2＝1； (2)y＝x＋或y＝－x－.

【解析】

试题分析：(1)由于椭圆的方程是标准方程，知其中心在坐标原点，对称轴就是两坐标轴，所以由已知可直接得到半焦距c及短半轴b的值，然后由 求得的值，进而就可写出椭圆的方程；(2)由已知得，直线l的斜率显然存在且不等于0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m，然后联立直线方程与椭圆C1的方程，消去y得到关于x的一个一元二次方程，由直线l同时与椭圆C1相切知，其判别式等于零得到一个关于k,m的方程；再联立直线l与抛物线C2的方程，消去y得到关于x的一个一元二次方程，由直线l同时与抛物线C2相切知，其判别式又等于零，再得到一个关于k,m的方程；和前一个方程联立就可求出k,m的值，从而求得直线l的方程．

试题解析：(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，

所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程＝1，

得＝1，即b＝1. 所以a2＝b2＋c2＝2.

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.

整理，得2k2－m2＋1＝0， ①

由消y，得

k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

∵直线l与抛物线C2相切，

∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1， ②

联立①、②，得或

∴l的方程为y＝x＋或y＝－x－.

考点：１．椭圆的方程；２．直线与圆锥曲线的位置关系．