Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆上的动点，面积最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是椭圆上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由离心率为和面积可求出的值，从而求出椭圆的标准方程；

（2）假设存在满足题意的定点，设，因为，则直线与斜率和为零，所以有，通过化简可以得出与的关系，从而判断是否存在定点.

（1）面积最大值为：，又，，解得：.即：，所以方程为：.

（2）假设存在满足题意的定点，设，

设直线的方程为，.

由消去，得.

由直线过椭圆内一点，故恒成立，

由求根公式得：，

由，可得直线与斜率和为零.故，

，

.所以，

存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意.