【题目】如图,已知矩形所在平面与
所在平面互相垂直,
,
.
(1)若M为中点,N为
中点,证明:
平面
;
(2)若,
,且
与平面
所成角的正弦值为
,求
的大小.
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①的周期为
;
②在
上单调递增;
③函数在
上有
个零点;
④函数的最小值为
.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①②B.②③C.③④D.②④
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【题目】谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______.
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【题目】某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况,其二维条形图如图(黑色代表喜好,白色代表不喜好).
(1)写出列联表;
(2)能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关;
(3)在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训,求恰是一男一女的概率.
附:
0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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【题目】如图,已知椭圆的左顶点
,且点
在椭圆上,
分别是椭圆的左、右焦点。过点
作斜率为
的直线交椭圆
于另一点
,直线
交椭圆
于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为等腰三角形,求点
的坐标;
(3)若,求
的值.
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【题目】《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事。通过讲述一只乌鸦喝水的故事,告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图2所示,乌鸦想喝水,发现有一个锥形瓶,上面部分是圆柱体,下面部分是圆台,瓶口直径为3厘米,瓶底直径为9厘米,瓶口距瓶颈为厘米,瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为
厘米现将1颗石子投入瓶中,发现水位线上移
厘米,若只有当水位线到达瓶口时,乌鸦才能喝到水,则乌鸦共需要投入的石子数量至少是?(石子体积均视为一致)
圆台体积公式:,其中,
为圆台高,
为圆台下底面半径,
为圆台上底面半径( )
A.2颗B.3颗C.4颗D.5颗
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【题目】如图1,在矩形中,
,
,
为
的中点,
为
中点.将
沿
折起到
,使得平面
平面
(如图2).
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点
,使得
平面
? 若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个元,二级滤芯每个
元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元。现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据
套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中图是根据
个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据
个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换频数分布表
二级滤芯更换的个数 | ||
频数 |
以个一级过滤器更换滤芯的频率代替
个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以
个二级过滤器更换滤芯的频率代替
个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为的概率;
(2)记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数,求
的分布列及数学期望;
(3)记,
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
,且
,以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据,试确定
,
的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆C满足:圆心在
轴上,且与圆
相外切.设圆C与
轴的交点为M,N,若圆心C在
轴上运动时,在
轴正半轴上总存在定点
,使得
为定值,则点
的纵坐标为_________.
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