Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．
（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；
（2）求AB边上的中线长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，

∴cosC= = = ，即C= ，

∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，

∴sinBcosA=2sinAcosA，

当cosA=0，即A= ，此时S△ABC= ；

当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC= ；

（2）∵ = ，

∴|CD|2= = ，

∵cosC= ，c=2，

∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，

∴|CD|2= = ＞1，且|CD|2= ≤3，

则|CD|的范围为（1， ]．

【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到 = ，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．
【考点精析】关于本题考查的正弦定理的定义和余弦定理的定义，需要了解正弦定理:；余弦定理:;;才能得出正确答案．