【题目】已知圆,直线
.
(1)求直线所过定点A的坐标;
(2)求直线被圆C所截得的弦长最短时直线
的方程及最短弦长;
(3)已知点M(-3,4),在直线MC上(C为圆心),存在定点N(异于点M),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数, 试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.
【答案】(1)A(1,3);(2)直线方程为
,最短弦长为
;(3)在直线MC上存在定点
,使得
为常数
.
【解析】
(1)利用直线系方程的特征,直接求解直线过定点A的坐标;
(2)当AC⊥时,所截得弦长最短,由题知C(0,4),
,求出AC的斜率,利用点到直线的距离,转化求解即可;
(3)由题知,直线MC的方程为,假设存在定点N(
,4)满足题意,则设
,
,得
,且
,求出
,然后求解比值.
解:(1)依题意得,,
令且
,得
,
∴直线过定点A(1,3);
(2)当AC⊥时,所截得弦长最短,由题知C(0,4),
,
,得
,
∴由得
,
此时直线方程为
,
∴圆心到直线的距离为,
∴最短弦长为;
(3)由题知,直线MC的方程为,假设存在定点N(
,4)满足题意,
则设,
,得
,且
,
,
,
整理得,,
∵上式对任意恒成立,
且
,
解得 或
(舍去,与M重合),
综上可知,在直线MC上存在定点,使得
为常数
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为达到节水节电的目的,某家庭记录了20天的日用电量xi(单位:度)的频数分布表和这20天相应的日用水量yi(单位:m3)的频率分布直方图如下:
日用电量xi | [0,2) | [2,4) | [4,6) | [6,8) | [8,10) |
频数(天) | 2 | 5 | 7 | 3 | 3 |
(1)假设水费为2.5元/m3,电费为0.6元/度,用以上数据估计该家庭日用电量的平均值和日用水量的平均值,并据此估计该家庭一个月的水费和电费一共是多少?(一个月按30天算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表);
(2)假设该家庭的日用水量y和日用电量x可用线性回归模型来拟合,请利用(1)中的计算数据及所给的参考数据和公式,建立y与x的回归方程,预测若该家庭日用电量为20度时的日用水量是多少m3?(回归方程的系数小数点后保留2位小数)
参考数据:xiyi=65,
612
参考公式:回归方程x
中斜率和截距的公式分别为:
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,四边形
是菱形,
,
,且
,
交于点
,
是
上任意一点.
(1)求证:;
(2)若为
的中点,且二面角
的余弦值为
,求
与平面
所成角
的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且点
在直线
上.
(1)求的值及直线
的直角坐标方程;
(2)圆的极坐标方程为
,试判断直线
与圆
的位置关系.
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【题目】某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.
(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;
(2)为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?
参考公式:
.
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【题目】将函数向左平移
个单位,得到
的图象,则
满足( )
A.图象关于点对称,在区间
上为增函数
B.函数最大值为2,图象关于点对称
C.图象关于直线对称,在
上的最小值为1
D.最小正周期为,
在
有两个根
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】若数列同时满足:①对于任意的正整数
,
恒成立;②对于给定的正整数
,
对于任意的正整数
恒成立,则称数列
是“
数列”.
(1)已知判断数列
是否为“
数列”,并说明理由;
(2)已知数列是“
数列”,且存在整数
,使得
,
,
,
成等差数列,证明:
是等差数列.
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【题目】某市公交公司为了鼓励广大市民绿色出行,计划在某个地段增设一个起点站,为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数
之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:
间隔时间( | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
等候人数( | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 |
调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数
的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
(1)若选取的是前4组数据,求关于
的线性回归方程
,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
,
.
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