Question

已知复数z满足：|z+1|+|z-1|=2

2

．
（Ⅰ）求复数z对应的动点在相应的平面直角坐标系中形成的曲线C的标准方程；
（Ⅱ）F₁（-1，0），F₂（1，0），过点F₁的直线l与曲线C交于M，N两点，且|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：复数求模,直线的一般式方程,轨迹方程

专题：数系的扩充和复数

分析：（I）利用复数模的计算公式和椭圆的定义即可得出；
（II）设直线l的方程为x=my-1．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得（2+m²）y²-2my-1=0，利用根与系数关系和向量的坐标运算、模的计算公式即可得出．

解答： 解：（I）设z=x+yi（x，y∈R），∵复数z满足：|z+1|+|z-1|=2

2

．∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=2

2

，
此式表示的是到两个定点（1，0），（-1，0）的距离之和为定值2

2

，且2

2

＞2，
可知：复数z对应的动点在相应的平面直角坐标系中形成的曲线C是椭圆，其标准方程为

x2

2

+y2=1．
（II）设直线l的方程为x=my-1．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

x=my-1 x2+2y2=2

，化为（2+m²）y²-2my-1=0，
y₁+y₂=

2m

2+m2

，y1y2=-

1

2+m2

．
∴x₁+x₂-2=m（y₁+y₂）-4=

2m2

2+m2

-4=

-2m2-8

2+m2

．
∴

F2M

+

F2N

=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）=(

-2m2-8

2+m2

，

2m

2+m2

)．
∵|

F2M

+

F2N

|=

2 26

3

，
∴

( -2m2-8 2+m2 )2+( 2m 2+m2 )2

=

2 26

3

，
化为17m⁴+23m²-40=0．
解得m²=1，∴m=±1．
∴直线l的方程为x=±y-1．

点评：本题考查了复数模的计算公式、椭圆的定义、直线与与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数关系、向量的坐标运算、模的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．