Question

已知空间中不共面的四个点A、B、C、D，每2个点之间均可连一条线段．
（Ⅰ）任意取出三条线段中．求A、B、C、D四个点均在这三条线段的端点中的概率．
（Ⅱ）任意取出三条线段中，设含有点A的线段的条数为随机变量X，求X的分布列及均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用对立事件概率计算公式能求出A、B、C、D四个点均在这三条线段的端点中的概率．
（Ⅱ）由题意知X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及均值．

解答： 解：（Ⅰ）A、B、C、D四个点均在这三条线段的端点中的概率为：
p=1-

C 3 4 • C 2 2

C 3 6

=

4

5

．
（Ⅱ）由题意知X=0，1，2，3，
P（X=0）=

1

C 3 6

=

1

20

，
P（X=1）=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

P（X=2）=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，
P（X=3）=

1

C 3 6

=

1

20

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 20	9 20	9 20	1 20

EX=0×

1

20

+1×

9

20

+2×

9

20

+3×

1

20

=

3

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．