Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值以及相应的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，再利用周期公式求得函数的最小正周期．
（2）根据x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
∴f（x）的最小正周期为π．
（2∵-

π

6

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；
当2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

时，f（x）取得最小值-1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题过程不是太复杂，但要求学生能细心计算．