Question

已知椭圆C的中心在原点O，其右焦点为F（1，0），长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l经过点F，交椭圆C于M，N两点，P为椭圆位于第四象限上一点，且OP⊥MN，求四边形OMPN的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆右焦点为F（1，0），长轴长为4，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立，利用韦达定理，计算|MN|，求出|OP|，即可求四边形OMPN的面积．

解答： 解；（1）由题意c=1，2a=4
．∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程

x2

4

+

y2

3

=1
（2）直线l的方程为y=x-1，设M（x₁，y₁），N（x₁，y₂），P（x₀，y₀），
∴

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，∴7x²-8x-8=0，∴x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=

8

7

，|MN|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

24

7

，
OP所在直线为y=-x，∴

y=-x x2 4 + y2 3 =1

，∴x2=

12

7

，
|OP|2

=x

2 0

+

y

2 0

=

24

7

，
S四边形OMPN=

1

2

|MN|•|OP|=

1

2

•

24

7

•

24 7

=

24 42

49

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．