Question

设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；等差数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2) 若对任意，有成立，求实数的取值范围;

（3）对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.

Answer 1

 （1）由题意，则，解得或

因为为正整数，所以， 又，所以

（2）．

记当时，得单调减，

又，所以

（3）由题意知，

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则

又，所以，

即，所以

因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。

即当时，             

综上所述，满足题意的正整数仅有.