Question

17．如图，在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，△A₁AC为等边三角形，AC⊥A₁B．
（1）求证：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A₁B与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，连接OA₁，OB，推导出AC⊥OA₁，AC⊥A₁B，从而AC⊥平面OA₁B，进而AC⊥OB，由点O为AC的中点，能证明AB=BC．
（2）以线段OB，OC，OA₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出A₁B与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）证明：取AC的中点O，连接OA₁，OB，
∵点O为等边△A₁AC中边AC的中点，
∴AC⊥OA₁，∵AC⊥A₁B，OA₁∩A₁B=A₁，
∴AC⊥平面OA₁B，又OB?平面OA₁B，
∴AC⊥OB，∵点O为AC的中点，∴AB=BC．
（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∵A₁O⊥AC，侧面ACC₁A₁O⊥底面上ABC，A₁⊥底面ABC
以线段OB，OC，OA₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
设AC=2，则A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，B（1，0，0），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-\sqrt{3}）$，
设平面BCC₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{B{B_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}+{y_0}=0\\{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$，令${y_0}=\sqrt{3}$，
则${x_0}=\sqrt{3}$，z₀=-1，∴$\overrightarrow{n_0}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，-1）$，
设A₁B与平面BCC₁B₁所成角为θ，
则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n_0}，\overrightarrow{{A_1}B}＞|=\frac{{\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{{A_1}B}}}{{|\overrightarrow{n_0}||\overrightarrow{{A_1}B}|}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴A₁B与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查两线段相等的证明，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．