Question

10．已知实数x，y，z满足x+y+z=1，则x²+y²+z²的最小值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用条件x+y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）进行解题即可．

解答 解：由柯西不等式可知：（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）
故x²+y²+z²≥$\frac{1}{3}$，即：x²+2y²+3z²的最小值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+1²+1²）进行解决．