Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，若一组斜率为$\frac{1}{4}$的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上，则l的斜率为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设直线l的方程y=$\frac{1}{4}$x+m，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得x=-$\frac{4m}{9}$，与直线l：y=$\frac{1}{4}$x+m，联立即可求得直线的方程．求得直线l的斜率．

解答 解：设弦的中点坐标为M（x，y），在直线y=$\frac{1}{4}$x+m上，
设直线与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得9x²+8mx+16m²-16=0，
△=64m²-4×9×（16m²-16）＞0，解得：-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$＜m＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{9}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-16}{9}$，∵M（x，y）为弦AB的中点，
∴x₁+x₂=2x，
∴-$\frac{8m}{9}$=2x，x=-$\frac{4m}{9}$，
∵m∈（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$），则x∈（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x+m}\\{x=-\frac{4m}{9}}\end{array}\right.$，消去m得y=-2x，
则直线l的方程y=-2x，x∈（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∴直线l的斜率为-2，
故选A．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．