Question

5．已知函数$f（x）=\frac{{2\sqrt{|x|}}}{{{e^{x-1}}}}$，若关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3个不相等的实根，则m的取值范围是（-∞，1）∪{2}．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的取值情况，作出f（x）的图象，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，解方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．

解答 解：化简可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{x}}{{e}^{x-1}}，x≥0}\\{\frac{2\sqrt{-x}}{{e}^{x-1}}，x＜0}\end{array}\right.$，
当x≥0时，f（x）≥0，
f′（x）=$\frac{（2\sqrt{x}）′{e}^{x-1}-2\sqrt{x}（{e}^{x-1}）′}{{e}^{2x-2}}$=$\frac{1-2x}{\sqrt{x}•{e}^{x-1}}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）有极大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{{e}^{-\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{2e}$；
当x＜0时，f′（x）=$\frac{-1+2x}{\sqrt{-x}•{e}^{x-1}}$＜0，f（x）为减函数，
作出函数f（x）对应的图象如图：
∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2e}$．
设t=f（x），则关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0，
即为t²-mt+m-1=0，解得t=1，或t=m-1．
当t=1时，方程t=f（x）有3个不等实根，
要使关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3个不相等的实数根，
即有t=m-1=1，即m=2或无实数根．
当m-1＜0，即m＜1时，t=m-1无实数根．
则m的取值范围是（-∞，1）∪{2}．
故答案为：（-∞，1）∪{2}．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．