Question

15．设a＞0，若对于任意的x＞0，都有$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}≤2x$，则a的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{4}，+∞$）．

Answer 1

分析 由对于任意的x＞0，都有$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}≤2x$，转化为$\frac{1}{a}≤（\frac{1}{x}+2x）_{min}$，求出a的取值

解答 解：对于任意的x＞0，都有$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}≤2x$，得到$\frac{1}{a}≤（\frac{1}{x}+2x）_{min}$，因为$\frac{1}{x}+2x≥2\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{a}≤2\sqrt{2}$，解得a$≥\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{4}，+∞$）．

点评 本题考查了恒成立的问题以及利用基本不等式求最值．