Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，A（a，0），b（0，b），D（-a，0），△ABD的面积为$2\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设P（x₀，y₀）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与 x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由${S_{四边形ABNM}}=\frac{1}{2}|{AN}|•|{BM}|$，代入即可求得四边形ABNM的面积．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}（{2a}）b=2\sqrt{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a=2，$b=\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由（1）知，A（2，0），$B（{0，\sqrt{3}}）$，由题意可得${S_{四边形ABNM}}=\frac{1}{2}|{AN}|•|{BM}|$，
因为P（x₀，y₀），-2＜x₀＜0，$0＜{y_0}＜\sqrt{3}$，$3x_0^2+4y_0^2=12$．
∴直线PA的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$
令x=0，得${y_M}=-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$．从而$|{BM}|=|{\sqrt{3}-{y_M}}|$=$|{\sqrt{3}+\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}}|$．
直线PB的方程为$y=\frac{{{y_0}-\sqrt{3}}}{x_0}x+\sqrt{3}$．
令y=0，得${x_N}=-\frac{{\sqrt{3}{x_0}}}{{{y_0}-\sqrt{3}}}$．从而|AN|=|2-x_N|=$|{2+\frac{{\sqrt{3}{x_0}}}{{{y_0}-\sqrt{3}}}}|$．
∴|AN|•|BM|=$|{2+\frac{{\sqrt{3}{x_0}}}{{{y_0}-\sqrt{3}}}}|•|{\sqrt{3}+\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}}|$，
=$|{\frac{{3x_0^2+4y_0^2+4\sqrt{3}{x_0}{y_0}-12{x_0}-8\sqrt{3}{y_0}+12}}{{{x_0}{y_0}-\sqrt{3}{x_0}-2{y_0}+2\sqrt{3}}}}|$，
=$|{\frac{{4\sqrt{3}{x_0}{y_0}-12{x_0}-8\sqrt{3}{y_0}+24}}{{{x_0}{y_0}-\sqrt{3}{x_0}-2{y_0}+2\sqrt{3}}}}|$，
=$4\sqrt{3}$．
∴${S_{四边形ABNM}}=\frac{1}{2}|{AN}|•|{BM}|$=$2\sqrt{3}$，
四边形ABNM的面积2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．