Question

12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足$f（{\frac{3}{2}-x}）=f（x），f（{-2}）=-3$，S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n，则f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a₅、a₆的值，则答案可求．

解答 解：∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
又∵$f（{\frac{3}{2}-x}）=f（x）$，∴$f（{\frac{3}{2}-x}）=-f（{-x}）$．
∴$f（{3+x}）=f[{\frac{3}{2}-（{-\frac{3}{2}-x}）}]=-f[{\frac{3}{2}-（{-x}）}]=-f（{-x}）=f（x）$．
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，
则a_n=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1）（n≥2），
则${a}_{n}-1=-2•{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，∴${a}_{n}=1-{2}^{n}$．
上式对n=1也成立．
∴a₅=-31，a₆=-63．
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3．
故答案为：3．

点评 本题考查数列递推式，考查利用构造等比数列求数列的通项公式，考查函数周期性的应用，是中档题．