Question

1．如图，过抛物线y²=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若$\overrightarrow{FC}$=4$\overrightarrow{FB}$，则$|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A₁，D，B₁，利用相似三角形计算BB₁，AA₁即可得出AB=AA₁+BB₁．

解答 解：分别过A，F，B作准线的垂线，垂足分别为A₁，D，B₁，
则DF=p=2，由抛物线的定义可知BF=BB₁，AF=AA₁，
∵$\overrightarrow{FC}$=4$\overrightarrow{FB}$，∴$\frac{DF}{B{B}_{1}}=\frac{FC}{BC}=\frac{4}{3}$，∴BF=BB₁=$\frac{3}{2}$．
∴CF=4FB=6，
∴cos∠DFC=$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{3}$，
∴cos∠A₁AC=$\frac{A{A}_{1}}{AC}$=$\frac{AF}{AF+6}$=$\frac{1}{3}$，解得AF=3，
∴AB=AF+BF=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，属于中档题．