Question

16．如图，在三棱柱中ABC-DEF，点P，G分别是AD，EF的中点，已知AD⊥平面ABC，AD=EF=3，DE=DF=2．

（Ⅰ）求证：DG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求PE与平面BCEF 所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得AD⊥DG，进一步得到BF⊥DG．再由DE=DF，G是EF的中点，可得EF⊥DG．然后利用线面垂直的判定可得DG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）取BC的中点H，连接HG，取HG的中点O，连接OP，OE，可证∠OEP是PE与平面BCEF所成的角，然后求解直角三角形可得PE与平面BCEF 所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥DG，
又BF∥AD，∴BF⊥DG．
∵DE=DF，G是EF的中点，∴EF⊥DG．
又BF∩EF=F，∴DG⊥平面BCEF；

（Ⅱ）解：取BC的中点H，连接HG，取HG的中点O，连接OP，OE，
∵PO∥DG，∴PO⊥平面BCEF，
∴∠OEP是PE与平面BCEF所成的角．
由AD=EF=3，DE=DF=2，解得$PE=\frac{5}{2}$，$OP=DG=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$sin∠OEP=\frac{OP}{PE}=\frac{\sqrt{7}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查线面角的求法，是中档题．