Question

8．已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）的焦点为F．若过点F且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M，N两点，又△MON的面积为${S_{△MON}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若点P是抛物线Γ上的动点，点B，C在y轴上，圆（x-1）²+y²=1内切于△PBC，求△PBC的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$，与抛物线方程联立方程组消去x，根据根与系数的关系计算|y₁-y₂|，根据面积列方程求出p即可得出抛物线方程；
（2）设出B，C，P的坐标，得出直线PB，PC的方程，利用切线的性质得出三点坐标的关系，代入面积公式利用基本不等式即可得出面积的最小值．

解答 解：（1）由题意得$F（\frac{p}{2}，0）$，则过点F且斜率为1的直线方程为$y=x-\frac{p}{2}$．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，消去x得：y²-2py-p²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{2}$p，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×\frac{p}{2}$×|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$p²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又p＞0，故得p=1．
所以抛物线Γ的方程为y²=2x．
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠0），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c，
直线PB的方程为$y-b=\frac{{{y_0}-b}}{x_0}x$，化简得（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圆心（1，0）到直线PB的距离为1，故$\frac{{|{{y_0}-b+{x_0}b}|}}{{\sqrt{{{（{y_0}-b）}^2}+{{（-{x_0}）}^2}}}}=1$，
即${（{y_0}-b）^2}+x_0^2={（{y_0}-b）^2}+2{x_0}b（{y_0}-b）+x_0^2{b^2}$，故$（{x_0}-2）{b^2}+2{y_0}b-{x_0}=0$，不难发现x₀＞2．
同理有$（{x_0}-2）{c^2}+2{y_0}c-{x_0}=0$，
∴b，c是关于t的一元二次方程$（{x_0}-2）{t^2}+2{y_0}t-{x_0}=0$的两个实数根，
则$b+c=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}，bc=\frac{{-{x_0}}}{{{x_0}-2}}$，
∴${（b-c）^2}={（b+c）^2}-4bc={（\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）^2}-4•\frac{{-{x_0}}}{{{x_0}-2}}=\frac{{4（x_0^2+y_0^2-2{x_0}）}}{{{{（{x_0}-2）}^2}}}$，
因为点P（x₀，y₀）是抛物线Γ上的点，所以$y_0^2=2{x_0}$，
则${（b-c）^2}=\frac{4x_0^2}{{{{（{x_0}-2）}^2}}}$，又x₀＞2，所以$b-c=\frac{{2{x_0}}}{{{x_0}-2}}$．
∴${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}（b-c）{x_0}=\frac{x_0^2}{{{x_0}-2}}={x_0}-2+\frac{4}{{{x_0}-2}}+4≥2\sqrt{（{x_0}-2）•\frac{4}{{{x_0}-2}}}+4=8$，当且仅当x₀=4时取等号，此时${y_0}=±2\sqrt{2}$．
△PBC的面积的最小值为8．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．