Question

15．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，点A，B，C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点，BC过中心O，且|BC|=2|AB|，S_△ABC=3．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点（异于A，C），且满足∠PBC=∠QBA，试讨论直线BP与直线BQ斜率之间的关系，并求直线PQ的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由4a=4，则a=2，根据三角形的面积公式，求得B点坐标，代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意可知：∠PBC=∠QBA，则k_BP=-k_BQ，设直线BP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得P点坐标，同理求得Q点坐标，直线PQ的斜率．

解答 解：（Ⅰ）由2a=4，则a=2，|BC|=2|AB|，S_△OAB=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$．
由△AOB是等腰三角形，则B（1，$\frac{3}{2}$），将B代入椭圆方程，$\frac{1}{4}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得：b²=3，
∴椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由题意可知：BP，BQ斜率存在，又∠PBC=∠QBA，
则k_BP=-k_BQ，
设直线BP：y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
化简得：（3+4k²）x²-8k（k-$\frac{3}{2}$）x+4k²-12k-3=0，
由其一解为1，另一解为x_P=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，解得：y_P=$\frac{-12{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$，
用-k代入，解得：x_Q=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{-12{k}^{2}+6k}{3+4{k}^{2}}$+$\frac{3}{2}$，
则直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{{y}_{P}-{y}_{Q}}{{x}_{P}-{x}_{Q}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线PQ的斜率为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．