Question

13．关于x的方程x³-x²-x+m=0，至少有两个不相等的实数根，则m的最小值为$-\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 利用参数分类法进行分离成m=-x³+x²+x，构造函数f（x）=-x³+x²+x，求函数的导数，研究函数极值进行求解即可．

解答 解：若方程x³-x²-x+m=0，
则m=-x³+x²+x，
设f（x）=-x³+x²+x，
则函数的导数f′（x）=-3x²+2x+
由f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＞0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，函数f（x）单调递增，
由f′（x）＞＜0得x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1，函数f（x）单调递减，
则当x=-$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得极小值f（-$\frac{1}{3}$）=-（-$\frac{1}{3}$）³+（-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$=$-\frac{5}{27}$，
当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=-1+1+1=1，
若方程x³-x²-x+m=0，至少有两个不相等的实数根，
则$-\frac{5}{27}$≤m≤1，
故m的最小值为$-\frac{5}{27}$，
故答案为：$-\frac{5}{27}$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．