Question

设集合A_n={x|（x-1）（x-n²-4+lnn）＜0}，当n取遍区间（1，3）内的一切实数，所有的集合A_n的并集是（　　）

• A、（1，13-ln3）
• B、（1，6）
• C、（1，+∞）
• D、（1，2）

Answer 1

考点：函数的值域,并集及其运算

专题：函数思想,函数的性质及应用

分析：先求不等式的解集，再构造函数求出所有函数的值域再求值域的并集就可以了．

解答： 解：（x-1）（x-n²-4+lnn）=0的两根为x₁=1，x2=n2+4-lnn，
又n²+4-lnn＞1，∴An=(1，n2+4-lnn)，
设f（n）=n²+4-lnn，n∈（1，3），则f′(n)=2n-

1

n

=

2n2-1

n

，
在n∈（1，3）时f′（n）＞0，∴f（n）在区间（1，3）上单调递增，
即f（n）＜f（3）=13-ln3，所以集合A_n的并集为（1，13-ln3）．
故选：A．

点评：本题利用构造函数，求函数的值域，注意先要求出不等式的解集，再求解集的并集．本题对初学者来讲有一定的难度，属于中档题．