Question

（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求证：直线平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：法一：用几何关系证明和求值.（Ⅰ）连结交于，证即可；（Ⅱ）先证平面，再证平面即可；（Ⅲ）由三垂线定理先作出二面角的平面角，根据数据关系求之即可.

法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.

试题解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结交于，连结．

是正方形，∴ 是的中点．

是的中点，∴是△的中位线．

∴． 2分

又∵平面，平面，

∴平面． 4分

（Ⅱ）证明：由条件有

∴ 平面，∴ 6分

又∵ 是的中点，∴

∴平面 ∴

由已知，∴平面 8分

（Ⅲ）由(Ⅱ)知面，则直线在面内的射影为，

∴为所求的直线与面所成的角． 10分

又，∴在中 ∴

又

由可得∴．∴

12分

∴直线与平面所成角的余弦值为． 13分

考点：空间直线与平面平行、垂直的性质与判定.