Question

已知空间4个球，它们的半径分别为2，2，3，3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：设半径分别为3、3、2、2的四个球的球心分别为A、B、C、D，与这4个球都外切的小球球心为O，半径为r，其中AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，连接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中点F、G，连接OF、OG，求出FG，利用OF+OG=FG列出关于r的方程，求出这个小球的半径即可．

解答： 解：设半径分别为3、3、2、2的四个球的球心分别为A、B、C、D，与这4个球都外切的小球球心为O，半径为r，
如图，连接AB、BC、CD、DA、AC、BD，得到四棱锥D-ABCD，
可得AB=6，CD=4，AD=AC=BD=BC=5，
连接OA、OB、OC、OD，取AB、CD中点F、G，连接OF、OG，
在等腰△ABC中，AC=BC=5，AF=BF=3，
所以CF=4，同理可得DF=4；
由此可得△CDF中，DF=CF，结合CG=DG，
连接FG，得FG是等腰△CDF底边中线，所以FG⊥CD
同理可得FG⊥AB，因此FG是异面直线AB、CD的公垂线段，
在Rt△AOF中，AF=3，OA=3+r，可得OF=

(r+3)2-9

，同理，OG=

(r+2)2-4

，
在Rt△CFG中，FG=

CF2-CG2

=2

3

，
所以OF+OG=FG，
即

(r+3)2-9

+

(r+2)2-4

=2

3

，
解之得r=

6

11

或r=-6（舍去），
则这个小球的半径为

6

11

．
故答案为：

6

11

．

点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，以及球的结构特征的运用，属于中档题．