Question

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.
（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）先求出数列的通项公式，然后根据“三角形”数列的定义证明即可，（3）函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．②数列中的各项必须在定义域内，即.
③是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得．

试题分析：（1）显然，对任意正整数都成立，
即是三角形数列．                              2分
因为k>1，显然有，由得，解得.
所以当时，是数列的“保三角形函数”.   5分
（2）由得,两式相减得
所以，，
经检验，此通项公式满足                7分
显然，因为，
所以 是“三角形”数列．                         10分
（3）探究过程：　函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．
②数列中的各项必须在定义域内，即.
③是三角形数列.
由于，是单调递减函数，所以，解得．
点评：本题是在新定义下对数列的综合考查．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题．